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Bewertung von SMR-Produkten
Martin Vonwald

November 1999

Vorwort

An dieser Stelle möchte ich mich bei meinem Diplomarbeitsbetreuer Prof. Stefan Pichler bedanken, der mit seinen wertvollen Anregungen entscheidend zum guten Gelingen dieser Arbeit beigetragen hat. Ein weiteres Dankeschön geht an meine Korrekturleser Michaela Escuyer und Karl Selitsch, welche dieser Arbeit den letzten Schliff gegeben haben. Nicht zuletzt gebührt den Mitgliedern der LYX-Usergroup und natürlich den LYX-Entwickler mein Dank, die es mir ermöglichten diese Arbeit in der vorliegenden Form umzusetzen.

Martin Vonwald

Inhalt

• Inhalt
• Einführung
  • Motivation
  • SMR und davon abhängige Finanzinstrumente
    • Sekundärmarktrendite
    • SMR-Floater
  • Literaturüberblick
• Bewertungsmodell
• Programmbedienung
  • Assistent
    • Kalibrierung
    • Bewertung
  • Makros
• Programmbeschreibung
  • Klassen
    • Klasse ,,Spotrates``
    • Klasse ,,CMT``
    • Klasse ,,SMR``
    • Klasse ,,SMRRegression``
  • Makros
    • SMRKalibrierung
    • SMRBewertung
    • SMRDetailBewertung
  • Beispiel
    • Kalibrierung
    • Bewertung
• Dateiformate
  • Zinssätze
  • SMR
  • Modellparameter
• Literatur

Einführung

Motivation

Eine der bedeutsamsten Gruppen von Zahlungsströmen im Kredit- und Anleihenbereich sowie auf den stark wachsenden Swapmärkten ist die Gruppe der Floater. Dies sind Zahlungsströme, deren Kupon im Gegensatz zu Anleihen an einen bestimmten variablen Zinssatz gebunden sind. Trotz der großen Bedeutung von Floatern existiert jedoch relativ wenig Literatur zu diesem Thema (vgl. [], []).

Eine speziell für den österreichischen Kapitalmarkt wichtige Gruppe von Finanztitel sind sog. ,,SMR-Floater``. Dies sind Floater mit Bindung an einen Kapitalmarktzinssatz mit variabler Laufzeit, einer sog. Sekundärmarktrendite (kurz: SMR). Eine SMR kann im wesentlichen als gewichteter Durchschnitt von Endfälligkeitsrenditen von Anleihen eines bestimmten Marktsegments betrachtet werden (vgl. Abschnitt ), wobei jedoch zu beachten ist, dass sich die Zusammensetzung des Marktsegments häufig ändern kann, da immer wieder Anleihen auslaufen oder neue Anleihen emmitiert werden. Vor allem diese Eigenschaft macht eine Bewertung von SMR-abhängigen Produkten problematisch.

Um SMR-Produkte bewerten zu können, muss die SMR entsprechend modelliert werden. Grundsätzlich gibt es hierzu zwei einfache Ansätze, die jedoch beide mehr oder weniger gravierende Nachteile aufweisen:

• Eine endogene Modellierung der SMR basierend auf einem Zinsstrukturmodell.

  Dabei trifft man die Annahme, dass bereits zum Bewertungszeitpunkt alle zukünftigen Zahlungsströme und Umlaufvolumina aller Anleihen bekannt sind. Dies ist jedoch ausgesprochen problematisch, wenn man bedenkt, dass jederzeit neue Anleihen emittiert werden können und diese dann in die Berechnung der SMR eingehen.

  Weiters nimmt man bei diesem Ansatz ebenfalls an, dass die Preise aller Anleihen ihren arbitragefreien Werten entsprechen. Abgesehen von Bid-Ask-Spreads, die dazu führen, dass die Marktpreise nicht exakt den theoretischen Preisen entsprechen, ist der österreichische Kapitalmarkt unvollständig. Dies führt dazu, dass abweichende Bewertungen nicht arbitriert werden können.

• Modellierung der SMR als exogenen stochastischen Prozess.

  Der gravierendste Nachteil dieses Ansatzes liegt darin, dass man entweder einen sehr einfachen Prozess verwendet und dabei ausgesprochen unrealistische Annahmen treffen muss (z.B. Unkorreliertheit zwischen SMR und Zinsstruktur), oder aber man bedient sich eines aufwendigeren Prozesses und hat dann Probleme bei der Prozessspezifikation und der Parameterschätzung zu lösen. Ein weiterer Nachteil liegt darin, dass der überwiegende Teil der Bewertung von Parametern abhängt, die an Preise von SMR-abhängigen Instrumenten kalibriert werden müssen, wodurch sich eine relativ hohe Ungenauigkeit ergeben kann.

Ein weiterer Ansatz, der erstmals in Pichler [] vorgestellt wurde, teilt in der Modellierung die SMR in einen endogenen Teil und einen exogenen Fehlerprozess auf. Im endogenen Teil werden Änderungen der SMR durch Änderungen von mehreren Constant Maturity Treasury Rates (CMT) beschrieben. Eine CMT ist eine Par-Coupon Yield, welche aus den Preisen von Staatsanleihen mit standardisierten Laufzeiten ermitteln wird (vgl. [] und Abschnitt ). Der exogene Fehlerprozess hingegen beschreibt die Abweichungen der modellmäßigen SMR von der realen SMR. Im Gegensatz zur Modellierung der SMR als exogenen stochastischen Prozess ist bei der Bewertung nur ein sehr kleiner Teil des Barwertes von zu kalibrierenden Parametern abhängig.

Der Vorteil dieses Ansatzes ist es, die einzelnen Kuponzahlungen in einen auf herkömmliche Weise hedgebaren Teil und einen Fehlerteil zu trennen. Somit wäre es möglich, große Teile von SMR-Produkten durch Zerobonds nachzubilden. Die verbleibenden relativ kleinen Abweichungen werden durch den Fehlerprozess beschrieben und müssten durch andere SMR-Produkte gehedgt werden.

Genau diesem Ansatz widmet sich auch diese Arbeit. Zu Beginn wird eine zusammenfassende Darstellung des Bewertungsmodells gegeben und anschließend wird eine Softwareapplikation vorgestellt, welche auf Basis dieses Modells entwickelt wurde. Da es sich hierbei um die erstmalige Umsetzung dieses Modells in Form eines konkreten Bewertungstool handelt, wurde auch Bedacht auf eine sehr genaue Dokumentation gelegt. Gerade auch die vielfältigen Anwendungsmöglichkeiten eines solchen Tools, wie z.B.

• Bewertung von SMR-abhängigen Anleihen und Krediten,
• Bewertung von SMR-abhängigen Leasing- und Mietverträgen oder
• Risikobeurteilung von SMR-abhängigen Kapitalmarktfloatern zwecks Gesamtbanksteuerung

waren ein ausgesprochen großer Anreiz für diese Arbeit. Bei der Entwicklung mit Hilfe von Microsoft Excel 97 wurde vor allem auf eine einfache Bedienung Wert gelegt ohne jedoch die Flexibilität einzuschränken. Um den universellen Einsatz zu gewährleisten, wurden die eigentlichen Berechnungsroutinen in Form eines Addin realisiert. Die Benutzerschnittstelle wurde in zwei Bereiche aufgeteilt:

• Ein dialoggesteuerter Assistent führt den Anwender durch den Modellkalibrierungsvorgang und den darauffolgenden Bewertungsvorgang.
• Mehrere Excel-Makros erlauben die simultane Kalibrierung verschiedener Modelle und die Bewertung mehrerer SMR-Floater innerhalb einer Excel-Arbeitsmappe.

Die Kalibrierung und Bewertung erfolgt in beiden Fällen in zwei getrennten Abläufen, wobei die Modellparameter für spätere Bewertungsvorgänge gespeichert werden können. Die zur Kalibrierung des Modells notwendigen Spotrate- und SMR-Zeitreihen können einerseits in einem programmeigenen Format andererseits im Format der ProfitLine-Software der Österreichischen Kontrollbank vorliegen.

Im ersten Kapitel werden die Begriffe SMR und SMR-Floater vorgestellt und erläutert. Außerdem wird noch ein kurzer Literaturüberblick gegeben. In Kapitel wird das verwendete Bewertungsmodell im Detail vorgestellt. Kapitel widmet sich dann dem erstellten Bewertungstool. Es werden die zwei unabhängigen Programmmodule vorgestellt und deren Bedienung erläutert. Der Aufbau der einzelnen Programmteile wird in Kapitel beschrieben. Außerdem wird anhand eines konkreten Zahlenbeispiels der genaue Ablauf des Kalibrierungs- und Bewertungsvorganges gezeigt. Abschließend wird dann in Kapitel auf die möglichen Dateiformate eingegangen, in welchen die notwendigen Daten (z.B. SMR- oder Spotrates-Zeitreihen) vorliegen können.

SMR und davon abhängige Finanzinstrumente

Sekundärmarktrendite

Eine Sekundärmarktrendite (SMR) ist ein Kapitalmarktzinssatz mit variabler Laufzeit, wobei dieser als gewichteter Durchschnitt von Endfälligkeitsrenditen von bestimmten Gruppen von Anleihen betrachtet werden kann. Die Berechnung der SMR ist von folgenden Punkten abhängig (vgl. []):

• Welche Gruppe von Anleihen wird verwendet?

  Neben der Währung und der Verzinsungsform (variabel-/festverzinst) spielt hierbei auch die Bonitätsklasse der Schuldner eine Rolle. Außerdem kann eine Unterscheidung auch nach Restlaufzeit und eventuell vorhandenen Kündigungsrechten erfolgen.

• Wie wird die Endfälligkeitsrendite berechnet?

  Eine weit verbreitete Methode zur Bestimmung der Endfälligkeitsrendite ist die Verwendung der Effektivverzinsung. Diese beruht auf der Annahme, dass alle innerhalb der Laufzeit anfallenden Zahlungen zu einem bestimmten fixen Zinssatz wiederveranlagt werden können.

  Die österreichische Kontrollbank hingegen verwendet zur Berechnung der SMR die sog. ,,reale`` Rendite, die einem fix vorgegebenen Zinssatz entspricht (7,5% oder 8%).

• Wie werden die Endfälligkeitsrenditen gewichtet?

  Neben der Gewichtung nach Börsenumsatz (Umsatzgewichtung) kommt auch eine Gewichtung nach dem ausstehenden Nominale (Umlaufgewichtung) zur Anwendung.

Im folgenden wird auf die Berechnungsmethode der österreichischen Kontrollbank eingegangen. Diese nimmt folgende Gruppeneinteilung vor:

• Anleihengruppen

  Die Anleihen werden in 15 Gruppen aus festverzinsten Emmisionen, 10 Gruppen aus Kapitalmarktfloatern und 7 Gruppen aus Geldmarktfloatern eingeteilt.

• Restlaufzeit

  Neben einer SMR für alle Restlaufzeiten wird auch eine SMR für Restlaufzeiten größer als ein Jahr und eine SMR für Restlaufzeiten größer als drei Jahre berechnet.

Für die Berechnung der SMR werden ausschließlich Tagesschlusskurse der Wiener Börse herangezogen. Die Österreichische Kontrollbank verwendet für die Berechnung der Endfälligkeitsrendite folgenden Algorithmus (vgl. []):

• Berechnung der ,,realen`` Renditen $Y_{0,075}$ und $Y_{0,08}$ für jede Anleihe in der betrachteten Gruppe:

  $$Y_{k^{*}i}=\left( \frac{\sum _{j=1}^{m_{i}}Z_{ij}\cdot \left( 1+k^{*}\right) ^{T_{im_{i}}-T_{ij}}}{PV_{i}}\right) ^{\frac{1}{T_{im_{i}}}}-1$$ (1)

  
  

  
  
  

  $Y_{k^{*}i}$	Reale Rendite für Anleihe $i$ und Wiederveranlagungssatz $k^{*}$ mit #MATH9# bzw. $k^{*}=0,08$
  $m_{i}$	Anzahl der Zahlungen der Anleihe $i$
  $Z_{ij}$	Zahlungen der Anleihe $i;\, j=1,\ldots ,m_{i}$
  $T_{ij}$	Zahlungszeitpunkte der Anleihe $i;\, j=1,\ldots ,m_{i}$
  $PV_{i}$	Marktwert der Anleihe $i$ (entspricht dem Börsenkurs inklusive Stückzinsen). Ist der Börsenkurs nicht beobachtbar, wird der letzte beobachtete Börsenkurs herangezogen.

  
  
  

• Umlaufgewichtung über die gesamte Gruppe:

  $$Y_{k^{*}}=\frac{\sum _{i=1}^{I}Y_{k^{*}i}\cdot U_{i}}{\sum _{i=1}^{I}U_{i}}$$ (2)

  
  

  
  
  

  $Y_{k^{*}}$	Umlaufgewichteter Durchschnitt der ,,realen`` Renditen mit Wiederveranlagungssatz $k^{*}$ innerhalb der Gruppe.
  $I$	Anzahl der Anleihen innerhalb der betrachteten Gruppe.
  $U_{i}$	Noch nicht getilgtes Nominale der Anleihe $i$.

  
  
  

• Berechnung der SMR:

  $$SMR=\frac{Y_{0,08}\cdot 0,08-Y_{0,075}\cdot 0,075}{0,08-0,075+Y_{0,08}-Y_{0,075}}$$ (3)

  
  

Bei der letzten Formel erkennt man, dass die SMR ein nichtlinear gewichteter Durchschnitt der ,,realen`` Renditen $Y_{0,075}$ und $Y_{0,08}$ ist.

SMR-Floater

Kapitalmarktfloater mit Bindung an eine SMR bezeichnet man als SMR-Floater. Die wichtigsten Unterscheidungsmerkmale werden im folgenden angeführt:

• Welche SMR dient als Referenzzinssatz?
• Wann sind die Anpassungszeitpunkte und welche Regeln werden verwendet?

  Falls beides bei Vetragsabschluss genau festgelegt wird, spricht man von einer fixen Zinsbindung, anderenfalls von einer nicht fixen Zinsbindung.

• Wann wird die Höhe der Kuponzahlung festgelegt?

  Erfolgt die Anpassung am Anfang der Kuponperiode spricht man von einer regulären Zinsanpassung. Bei einer Anpassung am Ende der Kuponperiode nennt man dies in-arrears Zinsanpassung. Eine weitere Möglichkeit ist die Durchschnittsanpassung. Diese liegt dann vor, wenn die Kuponzahlung von der durchschnittlichen Höhe des Referenzzinssatzes während einer Referenzperiode abhängig ist.

• Wie wird die Höhe der Kuponzahlung ermittelt?

  Wenn man unterstellt, dass die Höhe der Kuponzahlung als Funktion des Referenzzinssatzes darzustellen ist, kann man u.a. zwischen folgenden Anpassungsfunktionen unterscheiden:

• Perfekt indiziert

  Die Verzinsung entspricht dem Referenzzinssatz.

• Margin

  Entspricht einem Auf- bzw. Abschlag auf den Referenzzinssatz.

• Rundung

  Hierbei wird der Referenzzinssatz auf einen bestimmten Wert gerundet.

• Zinsober-/untergrenze (Cap/Floor)

  Es wird festgelegt, dass die Verzinsung einen bestimmten Wert nicht über- bzw. unterschreiten darf.

Natürlich sind auch Kombinationen der einzelnen Anpassungsfunktionen erlaubt, z.B. ein Margin von 0,5% zusammen mit einer Rundung auf 0,125%. Auch eine Kombination von Zinsober- und Untergrenze ist möglich.

Literaturüberblick

Eine der ersten Arbeiten die sich mit der Bewertung von Geldmarktfloater befasst hat, wurde von Ramaswamy und Sundaresan [] erstellt. Ausgehend von einem Einfaktor-Modell wurde ein allgemeiner Bewertungsansatz für Geldmarktfloater (Durchschnitts-Zinsanpassung) entworfen. Unter Anwendung des Forward Measure wurde von Li und Raghavan [] ein Modell für Floater mit in-arrears Zinsanpassung vorgestellt. Die Grundlagen für die Anwendung des Forward Measure finden sich in Musiela und Rutkowski [] und Miltersen, Sandmann und Sondermann [], sowie sehr ausführlich in Jamshidian [].

Zur Bewertung von Kapitalmarktfloatern mit Bindung an einen Zinssatz mit konstanter Laufzeit (Constant Maturity Produkten) findet sich in Jamshidian [] eine ausführliche Darstellung, welche auf das Modell aus Brotherton-Ratcliffe und Iben [] zurückzuführen ist. Eine leichter zugängliche Beschreibung des Ansatzes findet sich in Hull [].

Eine der ersten umfassenden Darstellungen des Bewertungsproblems für Kapitalmarktfloater mit Bindung an einen Zinssatz mit variabler Laufzeit wurde in Pichler [] vorgestellt. Im wesentlichen der gleiche Ansatz wurde auch in einem Arbeitspapier von Frühwirth [] verwendet.

Bewertungsmodell

Dieser Abschnitt gibt eine Überblick über das in dieser Arbeit verwendete Bewertungsmodell (vgl. []). Der exakte Rechenvorgang wird anhand eines konkreten Beispieles in Abschnitt beschrieben.

Der verwendete Bewertungsansatz basiert auf einer endogenen Modellierung der SMR und einem zusätzlichen exogenen Fehlerterm, d.h. die SMR wird in zwei Teile aufgeteilt:

• Einen prognostizierbaren SMR-Teil, basierend auf den zum Bewertungszeitpunkt verfügbaren Informationen.
• Einen Fehlerprozess, der mit den dem Zinsstrukturmodell zugrundeliegenden Faktoren unkorreliert ist und die Abweichungen von der modellmäßigen SMR angibt.

Der Zusammenhang lässt sich also wie folgt darstellen:

$$SMR_{T}=SMR_{T}\vert I_{T}+u_{T}$$ (4)

$SMR_{T}$	Tatsächliche SMR zum Zeitpunkt $T\geq t$
$SMR_{T}\vert I_{T}$	Prognostizierbare SMR unter der verfügbaren Informationsmenge $I_{T}$
$u_{T}$	Realisation des Fehlerprozesses zum Zeitpunkt $T$

Da sich gezeigt hat, dass eine hohe Korrelation zwischen der SMR und einigen CMTs vorliegt, wird die SMR als Linearkombination aus mehreren CMTs dargestellt. Der lineare Zusammenhang kann durch folgende OLS Regression bestimmt werden:

$$\Delta SMR_{t}=\sum _{k=1}^{K}\beta _{k}\cdot \Delta CMT_{kt}+\epsilon _{t}$$ (5)

$CMT_{kt}$		CMT mit Laufzeit $k$ zum Zeitpunkt $t$
$\beta _{k}$		Lineare Gewichtung der CMT mit Laufzeit $k$
$\epsilon _{t}$		Residualterm mit $\mathbb {E}\epsilon _{t}=0$; es gilt: $\epsilon _{t}=\Delta u_{t}$ sowie $u_{t}=u_{0}+\sum _{j=1}^{t}\epsilon _{j}$

Unter der Annahme, dass der Fehlerprozess und die Diskontierungsfaktoren unkorreliert sind, kann der CMT-abhängige Teil getrennt vom SMR-spezifischen Teil bewertet werden. Für den CMT-abhängigen Teil einer SMR-gebundenen Kuponzahlung gilt

$$V_{CMT}\left( t,T\right) =\sum _{k=1}^{K}\beta _{k}\cdot V_{k}\left( t,T\right) ,$$ (6)

wobei $V_{k}\left( t,T\right)$ den Barwert einer zu $T$ fälligen Kuponzahlung mit perfekter regulärer Zinsanpassung an die CMT mit Laufzeit $k$ bezeichnet. Dieser wird auf folgende Art ermittelt (vgl. []):

$$V\left( t,T\right) = P\left( t,T\right) \cdot \left[ f-\frac{1}{2}\cdot f^{2}\cdot \si... ...-h\right) \cdot \frac{PV''_{N}\left( f\right) }{PV'_{N}\left( f\right) }\right]$$ (7)

$$PV'_{N}\left( f\right) = -f\cdot \sum _{i=1}^{N}i\cdot \left( 1+f\right) ^{-i-1}-N\cdot \left( 1+f\right) ^{-N-1}$$

$$PV''_{N}\left( f\right) = f\cdot \sum _{i=1}^{N}\left[ i\cdot \left( i+1\right) \cdot \left... ...right) ^{-i-2}\right] +N\cdot \left( N+1\right) \cdot \left( 1+f\right) ^{-N-2}$$

$$FSR_{\tau ,N}\left( t\right) = \frac{P\left( t,t+\tau \right) -P\left( t,t+\tau +N\right) }{H_{\tau }\left( t,N\right) }$$

$$H_{\tau }\left( t,N\right) = h\cdot \sum _{i=1}^{N/h}P\left( t,t+\tau +i\cdot h\right)$$

$f$		Forward-Swap-Rate $FSR_{T-h-t,N}\left( t\right)$
$\sigma ^{2}_{FSR}$		Volatilität der Forward-Swap-Rate
$h$		Kuponperiode
$H_{\tau }\left( t,N\right)$		Annuitätenfaktor: Der zu $t$ beobachtbare Preis einer zu $t+\tau$ beginnenden Annuität über $N$ Jahre und Frequenz $h$.

Zur Modellierung des Fehlerprozesses wurde ein Ornstein-Uhlenbeck-Prozess mit folgendem Aussehen verwendet:

$$\textrm{d}u_{t}=a\cdot \left( \gamma -u_{t}\right) \cdot \textrm{d}t+b\cdot \textrm{d}W_{t}\qquad a,b>0$$ (8)

$a$		Mean Reversion Parameter
$b$		Volatilitätsparameter
$\gamma$		Langfristiger Mittlerwert

Für den diskreten Fall greift man auf die Euler-Approximation des Ornstein-Uhlenbeck-Prozesses, den sog. AR(1)-Prozess (vgl. []), zurück. Es gilt:

$$\textrm{d}u_{t}\approx \Delta u_{t}=\epsilon _{t}=\rho \cdot \epsilon _{t-1}+e_{t}\qquad \qquad e_{t}\sim \textrm{i}.\textrm{i}.\textrm{d}.$$ (9)

Für die Residualvarianz gilt weiters:

$$\sigma ^{2}_{\epsilon }=\frac{b^{2}}{2a}\cdot \left( 1-e^{-2\cdot a\cdot \Delta t}\right) \qquad \textrm{mit }a=-\rho$$ (10)

Dabei bezeichnet $\Delta t$ das Zeitintervall zwischen zwei Beobachtungen. Der Erwartungswert unter dem risikoneutralen Maß $Q$ für den Fehlerprozess zu einem beliebigen zukünftigen Zeitpunkt $T$, ist folgendermaßen gegeben:

$$\mathbb {E}_{Q}u_{T} = \gamma ^{*}+\left( u_{t}-\gamma ^{*}\right) \cdot e^{-a\left( T-t\right) }$$ (11)

$$\gamma ^{*} = \gamma -\frac{\lambda \cdot b}{a}$$ (12)

Der Parameter $\gamma ^{*}$ entspricht dem risikoadjustierten langfristigen Mittelwert des Fehlerprozesses. Die momentane Ausprägung $u_{t}$ des Fehlerprozesses ergibt sich zu:

$$u_{t}=SMR_{t}-\sum _{k=1}^{K}\beta _{k}\cdot CMT_{kt}$$ (13)

Den Mean Reversion Paramater $a$ erhält man ebenso wie die Realisation von $u_{t}$ aus der Regression. Lediglich der Parameter $\gamma ^{*}$ muss durch Kalibrierung an Marktdaten ermittelt werden (vgl. Abschnitt ).

Kombiniert man die beiden Bewertungen ergibt sich als Barwert für eine zum Zeitpunkt $T$ fällige Kuponzahlung:

$$V\left( t,T\right) = V_{CMT}\left( t,T\right) +P\left( t,T\right) \cdot \mathbb {E}_{Q}u_{T-h}$$

$$= \underbrace{\sum _{k=1}^{K}\left[ \beta _{k}\cdot V_{k}\left( t,T... ...t\right) }\right] }_{\textrm{Barwert des Erwartungswertes des Fehlerprozesses}}$$ (14)

$\beta _{k}$	Lineare Gewichtung der CMT mit Laufzeit $k$ (vgl. Formel )
$V_{k}\left( t,T\right)$	Barwert einer zu $T$ fälligen Kuponzahlung mit perfekter regulärer Zinsanpassung an die CMT mit Laufzeit $k$ (vgl. Formel )
$\gamma ^{*}$	Risikoadjustierter langfristiger Mittelwert des Fehlerprozesses (vgl. Formel )
$u_{t}$	Momentane Ausprägung des Fehlerprozesses (vgl. Formel )
$a$	Mean Reversion Parameter (vgl. Formel )
$h$	Länge der Kuponperiode in Jahren

Programmbedienung

Das Programm wurde in zwei Bereiche unterteilt:

• Einen Assistenten, der dialoggesteuert durch den Kalibrierungs- und Bewertungsprozess führt (Datei smr.xls).
• Eine Arbeitsmappe, welche bespielhaft die Makros zur Kalibrierung und Bewertung verwendet (Datei smrmakro.xls).

Auf jeden Fall wird die Datei smr.xla benötigt, welche die eigentlichen Kalibrierungs- und Bewertungsfunktionen enthält.

Assistent

Nach dem Öffnen der Arbeitsmappe smr.xls erscheint sofort der Einstiegsdialog des Assistenten (vgl. Abbildung ). Falls man eine neue Kalibrierung durchführen will, wählt man ,,Neue Kalibrierung``. Will man eine Bewertung basierend auf einer bestehenden Kalibrierung durchführen, muss man den Pfadnamen der Datei mit den Kalibrierungswerten angeben und wählt dann ,,Weiter``.

Abbildung: Einstiegsdialog des Assistenten

Der nachfolgende Dialog ist abhängig davon, ob man sich für eine neue Kalibrierung oder eine Bewertung entschieden hat.

Kalibrierung

Nachdem man sich im Einstiegsdialog für eine neue Kalibrierung entschieden hat wird man in den folgenden Dialogen aufgefordert, die Dateinamen für die Zeitreihen der Zinssätze sowie der Sekundärmarktrendite anzugeben, woraufhin diese eingelesen werden (Für die unterstützten Dateiformate vgl. Abschnitt ). Nach dem Einlesen der Zeitreihe der Sekundärmarktrendite wird überprüft, ob sich der Datumsbereich der beiden Zeitreihen ausreichend überschneidet. Nur in diesem Fall kann mit der Kalibrierung fortgefahren werden und man gelangt zum Hauptdialog der Kalibrierung (vgl. Abbildung ).

Abbildung: Hauptdialog der Kalibrierung:   1: Laufzeiten der zu verwendenden CMTs; 2: Ermittelte $\beta \protect$-Werte (nach Kalibrierung); 3: Hinzufügen/Entfernen von CMTs; 4: Verfügbare CMT-Zeitreihen; 5: Volatilität der Forward Swap Rate (wird vereinfachend als von der Laufzeit unabhängig angenommen); 6: Zu verwendender Zeitbereich für die Regression; 7: Kursdatum der für die Kalibrierung zu verwendenden SMR-abhängigen Anleihen; 8: Stammdaten und Kurse einer Anleihe; wird mit ,,Hinzufügen`` in die Anleihen-Liste 9 aufgenommen; 9: Daten der eingegebenen Anleihen; 10: Modellpreis (nach Kalibrierung)

Der Hauptdialog gliedert sich in drei Teile:

1. Auswahl der zu verwendenden CMTs sowie des Zeitbereichs für die Regression.
2. Angabe der Volatilität der Forward Swap Rate zur Bewertung der CMT-angepassten Zahlungen.
3. Stammdaten und Kurse jener Anleihen, die zur Kalibrierung des Fehlerterms (konkret: $\gamma ^{*}$) verwendet werden sollen.

Die Bedeutung der einzelnen Werte wurde bereits in Abschnitt erklärt. Erwähnenswert ist, dass in der Anleihenliste (9) einzelne Werte markiert werden können. Diese werden bei der darauffolgenden Kalibrierung nicht berücksichtigt.

Nachdem eine Kalibrierung durchgeführt wurde (Schaltfläche ,,Kalibrieren``), werden in der Anleihenliste zusätzlich die ermittelten Modellpreise angezeigt. Sollte es hier zu größeren Abweichungen kommen, ist es ratsam die eingegebenen Werte nochmals zu überprüfen bzw. die Auswahl der Anleihen zu überdenken.

Sobald die Kalibrierung abgeschlossen ist gelangt man mittels ,,Weiter`` in den letzten Dialog, innerhalb dessen man angeben kann, in welcher Datei die ermittelten Werte für eine spätere Bewertung gespeichert werden sollen. Außerdem können in diesem Dialog die Kalibrierungswerte mittels ,,Drucken`` ausgedruckt werden.

Bewertung

Nach dem man im Einstiegsdialog die Datei mit den Kalibrierungswerten und im nächsten Dialog die Datei für die aktuellen Zinssätze angegeben hat, gelangt man in den Dialog für die aktuelle Sekundärmarktrendite (vgl. Abbildung ). Da zur Bewertung nur die aktuelle SMR benötigt wird, kann hier neben einer Datei, welche mehrere SMR-Daten enthalten kann, auch eine SMR mit dem zugehörigen Datum direkt angeben werden.

Abbildung: Angabe der aktuellen Sekundärmarktrendite

Nach dem SMR-Dialog gelangt man in den Hauptdialog der Bewertung (vgl. Abbildung ). Neben der Volatilität der Forward Swap Rate müssen im Bereich ,,Grunddaten`` die Daten der zu bewertenden Anleihe sowie im Bereich ,,Bewertung`` das Kursdatum eingegeben werden. Danach kann diese Anleihe bewertet werden (Schaltfläche ,,Bewerten``), woraufhin der Modellpreis unterhalb des Kursdatums angezeigt wird.

Der Bereich ,,Ausstattung`` wurde nicht implementiert, da eine Bewertung von Optionsrechten den Rahmen dieser Arbeit sprengen würde.

Abbildung: Hauptdialog der Bewertung

Makros

Das Excel-Addin smr.xla stellt unter anderem auch Makrofunktionen zur Verfügung, die es erlauben ohne den Assistenten innerhalb einer Arbeitsmappe mehrere Kalibrierungen und Bewertungen gleichzeitig durchzuführen. Die Arbeitsmappe smrmakro.xls enthält einige Beispiele zur Anwendung dieser Makros. Eine genaue Beschreibung der Parameter ist in Abschnitt zu finden.

In den Abbildungen und sind Beispiele zur Kalibrierung und Bewertung dargestellt.

Abbildung: Makrofunktion zur Kalibrierung: Der markierte Bereich [I2:I7] enthält die Matrix-Formel zur Kalibrierung. Die Zinssätze werden aus dem Bereich [A1:T1072] der Tabelle ,,Zinsen`` ermittelt. Die SMR-Zeitreihe wird aus der Datei testdaten\smr_bund.txt eingelesen. Die Daten der Kalibrierungs-Anleihen kommen aus dem Bereich [A6:E7] der aktuellen Tabelle; die Laufzeiten der zu verwendenten CMTs aus dem Bereich [H5:H7]. Weiters werden die FSR-Volatilität aus der Zelle C2, das Start- sowie Enddatum der Regression aus den Zellen C8 und E8 und das Kursdatum aus der Zelle C4 entnommen.

Abbildung: Makrofunktion zur Bewertung: Die markierte Zelle E16 enthält die Formel zur Bewertung. Kursdatum sowie FSR-Volatilität werden aus den Zellen C4 bzw. C12 entnommen. Die Zinssätze werden aus dem Bereich [A1:T1072] der Tabelle ,,Zinsen`` ermittelt. Der Wert der aktuellen SMR ist in Zelle C13 enthalten. Die Daten der zu bewertenden Anleihe stehen in den Zellen A16 bis D16. Die Modellparameter $A\protect$, $B\protect$ und $\gamma ^{*}$ stehen in den Zellen I2 bis I4. Die CMT-Laufzeiten sind in der Matrix [H5:H7], die $\beta \protect$-Werte in der Matrix [I5:I7] enthalten.

Programmbeschreibung

Dieser Abschnitt gibt einen Überblick über die Funktionsweise des Programmes. Dazu werden in und die Klassen und Makros beschrieben, die im AddIn smr.xla enthalten sind. In wird abschließend anhand eines konkreten Beispiels der Ablauf des Kalibrierungs- und Bewertungsvorganges erläutert.

Klassen

Klasse ,,Spotrates``

Diese Klasse repräsentiert eine Zinsstruktur für verschiedene Datumswerte. Die Werte der Zinsstruktur können aus einer Datei (vgl. Abschnitt ) bzw. direkt aus einem Tabellenblatt eingelesen und danach beliebig abgefragt werden. Zwischen den vorhandenen Laufzeiten werden die Zinssätze linear interpoliert.

Methode	Funktion
getAF	Berechnet den Annuitätenfaktor basierend auf der aktuellen Zinsstruktur.
getAvailableDates	Liefert ein einspaltiges Datenfeld, welches alle verfügbaren Datumswerte in absteigender Reihenfolge enthält.
getAvailableMaturities	Liefert ein einspaltiges Datenfeld, welches alle verfügbaren Laufzeiten in aufsteigender Reihenfolge enthält.
getDiscountFactor	Berechnet den Diskontierungsfaktor basierend auf der aktuellen Zinsstruktur.
getFirstDate	Ermittelt das älteste Datum für welches eine Zinsstruktur vorliegt.
getForwardRate	Berechnet die Forward Rate basierend auf der aktuellen Zinsstruktur.
getForwardSwapRate	Berechnet die Forward Swap Rate basierend auf der aktuellen Zinsstruktur.
getHistoryAF	Berechnet den Annuitätenfaktor basierend auf der Zinsstruktur zum angegebenen Datum.
getHistoryDiscountFactor	Berechnet den Diskontierungsfaktor basierend auf der Zinsstruktur zum angegebenen Datum.
getHistoryForwardRate	Berechnet die Forward Rate basierend auf der Zinsstruktur zum angegebenen Datum.
getHistoryForwardSwapRate	Berechnet die Forward Swap Rate basierend auf der Zinsstruktur zum angegebenen Datum.
getHistoryRateFor	Liefert den Zinssatz für die angegebene Laufzeit zum angegebenen Datum. Liegt diese Information nicht vor, wird der Wert 0 zurückgegeben.
getHistorySwapRate	Berechnet die Swap Rate basierend auf der Zinsstruktur zum angegebenen Datum.
getLastDate	Ermittelt das jüngste Datum für welches eine Zinsstruktur vorliegt.
getRateFor	Liefert den Zinssatz für die angegebene Laufzeit für das aktuelle Datum.
getSwapRate	Berechnet die Swap Rate basierend auf der aktuellen Zinsstruktur.
isOK	Liefert true, falls das Objekt korrekt initialisiert worden ist und eine Zinsstruktur eingelesen wurde.
read	Liest die Zinsstruktur aus einer Datei ein. Konnte die angegebene Datei gefunden werden, wird readStandard aufgerufen, anderenfalls readPL.
readFromMatrix	Liest die Zinsstruktur aus einem Tabellenblatt ein. Falls der markierte Bereich zweispaltig ist, müssen in der ersten Spalte die Laufzeiten und in der zweiten Spalte die aktuellen Zinssätze stehen. Enthält der Bereich mehr als zwei Spalten, müssen in der ersten Zeile die Laufzeiten stehen, in der ersten Spalte die Datumswerte und in den restlichen Feldern die entsprechenden Zinssätze.
readPL	Liest die Zinsstruktur aus mehreren Dateien im ProfitLine-Format ein. Die Namen der Dateien müssen dem Format XXXYY.ZZZ entsprechen, wobei XXX und ZZZ beliebige Buchstaben sein dürfen und YY der Laufzeit entspricht.
readStandard	Liest die Zinsstruktur aus einer Datei im Standard-Format ein. Die Datei muss einer Zinsmatrix entsprechend aufgebaut sein (vgl. readFromMatrix), wobei die Spalten durch einen Tabulator (chr(9)) getrennt sein müssen.
setRates	Liest die aktuelle Zinsstruktur aus einem Tabellenblatt ein. Der markierte Bereich muss zweispaltig sein, wobei in der ersten Spalte die Laufzeiten und in der zweiten Spalte die aktuellen Zinssätze stehen müssen.

Verwendete Berechnungsmethoden

• Annuitätenfaktor

  $$H_{\tau }\left( t,N\right) =h\cdot \sum _{i=1}^{N/h}P\left( t,t+\tau +i\cdot h\right)$$ (15)

  
  
  Der zu $t$ beobachtbare Preis einer zu $t+\tau$ beginnenden Annuität über $N$ Jahre mit Kuponfrequenz $h$.
• Forward Rate

  $$_{t}F_{T}=\frac{\left( 1+r_{T}\right) ^{T}}{\left( 1+r_{t}\right) ^{t}}-1$$ (16)

  
  

• Forward Swap Rate

  $$FSR_{\tau ,N}\left( t\right) =\frac{P\left( t,t+\tau \right) -P\left( t,t+\tau +N\right) }{H_{\tau }\left( t,N\right) }$$ (17)

  
  

• Swap Rate

  $$SR_{N}\left( t\right) =\frac{1-P\left( t,t+N\right) }{H_{0}\left( t,N\right) }$$ (18)

  
  

Klasse ,,CMT``

Diese Klasse liefert basierend auf einer Zinsstruktur (Objekt der Spotrates-Klasse) die Constant Maturity Treasury-Werte.

Methode	Funktion
getAvailableDates	Liefert ein einspaltiges Datenfeld, welches alle verfügbaren Datumswerte in absteigender Reihenfolge enthält.
getAvailableMaturities	Liefert ein einspaltiges Datenfeld, welches alle verfügbaren Laufzeiten in aufsteigender Reihenfolge enthält.
getConvexityAdjustment	Berechnet das sog. Convexity Adjustment basierend auf der aktuellen Zinsstruktur.
getFirstDate	Ermittelt das älteste Datum für welches eine Zinsstruktur vorliegt.
getHistoryConvexityAdjustment	Berechnet das sog. Convexity Adjustment basierend auf der Zinsstruktur für das angegebene Datum.
getHistoryRateFor	Liefert den CMT-Wert für die angegebene Laufzeit zum angegebenen Datum. Liegt diese Information nicht vor, wird der Wert 0 zurückgegeben.
getLastDate	Ermittelt das jüngste Datum für welches eine Zinsstruktur vorliegt.
getPaymentValue	Berechnet den Barwert einer Kuponzahlung mit perfekter regulärer Zinsanpassung an eine CMT.
getRateFor	Liefert den aktuellen CMT-Wert für die angegebene Laufzeit. Liegt diese Information nicht vor, wird der Wert 0 zurückgegeben.
getValue	Berechnet den Barwert einer Anleihe mit perfekter regulärer Zinsanpassung an eine CMT.
setSpotRates	Weist das zu verwendende SpotRates-Objekt zu. Alle Berechnungen basieren auf der Zinsstruktur diese Objektes.

Verwendete Berechnungsmethoden

• CMT-Wert

  $$CMT_{T}\left( t\right) =\frac{1-P\left( t,T\right) }{\sum _{i=1}^{T}P\left( t,i\right) }$$ (19)

  
  

• Convexity Adjustment
  

  $$CA = -\frac{1}{2}\cdot f^{2}\cdot \sigma ^{2}_{FSR}\cdot T\cdot \frac{PV''_{N}\left( f\right) }{PV'_{N}\left( f\right) }$$ (20)

  $$f = FSR_{T-h-t,N}\left( t\right)$$

  $$PV'_{N}\left( f\right) = -f\cdot \sum _{i=1}^{N}\left[ i\cdot \left( 1+f\right) ^{-i-1}\right] -N\cdot \left( 1+f\right) ^{-N-1}$$ (21)

  $$PV''_{N}\left( f\right) = f\cdot \sum _{i=1}^{N}\left[ i\cdot \left( i+1\right) \cdot \left... ...right) ^{-i-2}\right] +N\cdot \left( N+1\right) \cdot \left( 1+f\right) ^{-N-2}$$ (22)

  
  

• Barwert einer Kuponzahlung mit perfekter regulärer Zinsanpassung an eine CMT

  $$V\left( t,T\right) =P\left( t,T\right) \cdot \left[ FSR_{T-h-t,N}\left( t\right) -CA\right]$$ (23)

  
  

Klasse ,,SMR``

Diese Klasse abstrahiert SMR-Werte für verschiedene Datumswerte. Die SMR-Werte können aus einer Datei (vgl. Abschnitt ) bzw. direkt aus einem Tabellenblatt eingelesen und danach beliebig abgefragt werden.

Methode	Funktion
getAvailableDates	Liefert ein einspaltiges Datenfeld, welches alle verfügbaren Datumswerte in absteigender Reihenfolge enthält.
getFirstDate	Ermittelt das älteste Datum für welches SMR-Werte vorliegen.
getHistoryRate	Liefert den SMR-Wert für das angegebene Datum. Liegt diese Information nicht vor, wird der Wert 0 zurückgegeben.
getLastDate	Ermittelt das jüngste Datum für welches SMR-Werte vorliegen.
getRate	Liefert den SMR-Wert für das aktuelle Datum. Liegt diese Information nicht vor, wird der Wert 0 zurückgegeben.
isOK	Liefert true, falls das Objekt korrekt initialisiert worden ist und SMR-Werte eingelesen wurden.
read	Liest die Zinsstruktur aus einer Datei ein. Konnte die angegebene Datei gefunden werden, wird readStandard aufgerufen, anderenfalls readPL.
readFromMatrix	Liest die SMR-Werte aus einem Tabellenblatt ein. Der markierte Bereich muss zweispaltig sein und in der ersten Spalte die Datumswerte und in der zweiten Spalte die entsprechenden SMR-Werte enthalten.
readPL	Liest die SMR-Werte aus einer Datei im ProfitLine-Format ein.
readStandard	Liest die SMR-Werte aus einer Datei im Standard-Format ein. Die Datei muss genau so aufgebaut sein wie eine SMR-Matrix (vgl. readFromMatrix), wobei die Spalten durch einen Tabulator (chr(9)) getrennt sein müssen.
setRate	Setzt den SMR-Werte für das aktuelle Datum.

Klasse ,,SMRRegression``

In dieser Klasse ist der Algorithmus zur Bewertung SMR-abhängiger Kuponzahlungen implementiert.

Methode	Funktion
addCalibrateValue	Fügt die Stammdaten einer Anleihe zur internen Liste hinzu, welche für die Fehlerterm-Kalibrierung verwendet wird.
berechneParameter	Berechnet die Modellparameter $a$, $b$, $\gamma$ sowie $\gamma ^{*}$.
berechneUT	Berechnet das aktuelle $u_{T}$ (Differenz zwischen aktueller SMR und der CMT-Linearkombination). Die $\beta \protect$-Werte müssen vorher geschätzt werden.
calibrate	Bereitet die Daten zur Kalibrierung vor (createArrays) und ruft danach die Methoden schätzeRoh, schätzeBetas und berechneParameter auf.
checkSecondDimension	Hilfsfunktion um sicherzustellen, dass ein Array zweidimensional ist.
createArrays	Erstellt die Arrays für die CMT- und SMR-Werte sowie die $\Delta CMT$- und $\Delta SMR$-Werte, falls eine Kalibrierung durchgeführt wird (keine Bewertung).
eDach	Hilfsfunktion für schätzeRoh.
getA	Liefert den Modellparameter $a$.
getActualDate	Liefert das ,,aktuelle`` Datum.
getB	Liefert den Modellparameter $b$.
getBetas	Liefert ein einspaltiges Array mit den $\beta \protect$-Werten.
getCalibrationCMTMaturities	Liefert die Laufzeiten der CMTs, welche für den CMT-abhängigen Teil verwendet werden.
getCalibrationEndDate	Liefert das Enddatum, bis zu welchem die SMR-Regression durchgeführt werden soll.
getCalibrationStartDate	Liefert das Anfangsdatum, ab welchem die SMR-Regression durchgeführt werden soll.
getCalibrationValues	Liefert ein fünfspaltiges Array, welches die Stammdaten jener Anleihen enthält, die zur Kalibrierung des Fehlerterms verwendet werden sollen.
getDetailValue	Liefert ein vierspaltiges Array. Ausgehend von den übergebenen Stammdaten wird eine Bewertung vorgenommen. Das Array enthält (in genau dieser Reihenfolge) folgende Barwerte: CMT-Teil, SMR-Teil, Stückzinsen, Margin.
getFSRVolatility	Liefert die Volatilität der Forward Swap Rate.
getGamma	Liefert das ermittelte $\gamma$.
getGammaStern	Liefert das ermittelte $\gamma ^{*}$.
getLambda	Liefert das ermittelte $\lambda$.
getPresentValue	Bewertung des SMR-abhängigen Fehlerterms.
getValue	Führt eine Bewertung für die übergebenen Stammdaten durch. Entspricht der Summe von getDetailValue.
initValuation	Initialisiert das Objekt für eine Bewertung. Es werden die notwendigen Arrays aufgebaut (createArrays) und das aktuelle $u_{T}$ berechnet.
isCalibrated	Liefert true, falls das Objekt gültige Modellparameter enthält.
readFromFile	Liest die Modellparameter aus einer Datei, welche mit writeToFile erstellt wurde.
resetCalibration	Setzt die Kalibrierung zurück.
schätzeBetas	Schätzt aus den $\Delta SMR$- und $\Delta CMT$-Arrays die $\beta \protect$-Werte.
schätzeRoh	Ermittelt den Wert $\rho$ der zur Schätzung der $\beta \protect$-Werte notwendig ist.
setActualDate	Setzt das ,,aktuelle`` Datum.
setCMT	Übergibt das zu verwendende CMT-Objekt.
setFSRVolatility	Setzt die Volatilität der Forward Swap Rate.
setParameter	Setzt die Modellparameter $a$, $b$ und $\gamma ^{*}$ sowie die Laufzeiten der CMTs und die $\beta \protect$-Werte.
setSMR	Übergibt das zu verwendende SMR-Objekt.
setSpotRates	Übergibt das zu verwendende SpotRates-Objekt.
writeToFile	Schreibt die Modellparameter in eine Datei.

Auf die Berechnungsmethoden wird detailiert im konkreten Beispiel (Abschnitt ) eingegangen.

Makros

SMRKalibrierung

Definition:

Public Function SMRKalibrierung( 
vspots as Variant, 
vsmr as Variant, 
vkali as Variant, 
vcmt as Variant, 
fsrvol as Variant, 
smrvon as Variant, 
smrbis as Variant, 
kursdatum as Date) As Variant

Parameter	Beschreibung
vspots	Entweder der Name der Datei mit den Zeitreihen der Zinssätze oder ein einzelner Zellenbereich, der die Zeitreihen enthält.
vsmr	Entweder der Name der Datei mit der Zeitreihe der SMR oder ein einzelner Zellenbereich, der die Zeitreihe enthält.
vkali	Ein Zellenbereich, der die Stammdaten jener Anleihen enthält, welche zur Kalibrierung verwendet werden sollen. Der Zellenbereich muss exakt fünf Spalten breit sein, in denen die Werte Restlaufzeit, Kuponfrequenz, Margin, laufender Kupon und Marktpreis in genau dieser Reihenfolge enthalten sind. Jede Zeile beschreibt eine einzelne Anleihe.
vcmt	Ein Zellenbereich mit exakt einer Spalte, welcher die zu verwendenden CMTs angibt.
fsrvol	Volatilität der Forward Swap Rate.
smrvon	Anfangsdatum, ab dem die SMR-Regression durchgeführt wird.
smrbis	Enddatum, bis zu dem die SMR-Regression durchgeführt wird.
kursdatum	Kursdatum der Anleihen (siehe vkali)

Rückgabe:

Man erhält eine einspaltige Matrix, welche die Parameter $a$, $b$, und $\gamma ^{*}$ in den ersten drei Zeilen enthält und in den folgenden Zeilen die $\beta \protect$-Werte.

SMRBewertung

Definition:

Public Function SMRBewertung( 
kursdatum As Date, 
vol As Double, 
vspots As Variant, 
vsmr As Variant, 
rlz As Double, 
freq As Double, 
margin As Double, 
kupon As Double, 
par As Variant, 
Optional parB As Double = 0, 
Optional parGammaStern As Double = 0, 
Optional parCMTs As Variant, 
Optional parBetas As Variant) As Double

Parameter	Beschreibung
kursdatum	Datum für die Bewertung. Notwendig, falls Zinssätze bzw. SMR-Werte für mehrere Datumswerte angegeben wurden.
vol	Volatilität der Forward Swap Rate.
vspots	Entweder der Name der Datei, welche die Zinssätze enthält oder ein Zellbereich, welcher in der ersten Zeile die Laufzeiten enthält, in der ersten Spalte die Datumswerte und in den restlichen Feldern die entsprechenden Zinssätze.
vsmr	Entweder der Name der Datei, welche die SMR-Zeitreihe enthält oder ein Zellbereich, welcher in der ersten Spalte die Datumswerte und in der zweiten Spalte die entsprechenden SMR-Werte enthält.
rlz	Restlaufzeit der zu bewertenden Anleihe
freq	Kuponfrequenz
margin	Margin
kupon	Laufender Kupon
par	Entweder der Name der Datei, welche die Modellparameter enthält oder der Modellparameter $a$. Alle folgenden Parameter müssen nur dann angegeben werden, falls an dieser Stelle der Parameter $a$ angegeben wurde.
parB	Modellparameter $b$
parGammaStern	Modellparameter $\gamma ^{*}$
parCMTs	Ein Zellenbereich mit exakt einer Spalte, welcher die Laufzeiten der verwendeten CMTs enthält.
parBetas	Ein Zellenbereich mit exakt einer Spalte, welcher die $\beta \protect$-Werte enthält.

Rückgabe:

Modellpreis der Anleihe

SMRDetailBewertung

Definition:

Public Function SMRDetailBewertung( 
kursdatum As Date, 
vol As Double, 
vspots As Variant, 
vsmr As Variant, 
rlz As Double, 
freq As Double, 
margin As Double, 
kupon As Double, 
par As Variant, 
Optional parV As Double = 0, 
Optional parGammaStern As Double = 0, 
Optional parCMTs As Variant, 
Optional parBetas As Variant) As Variant

Die Parameter entsprechen denen der Funktion SMRBewertung.

Rückgabe:

Ein einzeilige Matrix welche die Barwerte des CMT-Teils, des SMR-Teils, der Stückzinsen und der Margin in genau dieser Reihenfolge enthält. Die Summe dieser vier Werte entspricht dem Rückgabewert der Funktion SMRBewertung.

Beispiel

In diesem Abschnitt wird anhand eines konkreten Beispiels der Kalibrierungs- und Bewertungsvorgang dargestellt. Es werden jeweils die relevanten Formeln sowie die Rechenergebnisse angeführt. Die Methoden, welche die Berechnungen durchführen, werden im Format {Klasse:Methode} bzw. {Prozedur} angeführt (z.B. {SMR:createArrays}), wobei der Programmablauf bei Einsatz der Makros beschrieben wird.

Dieses Beispiel ist in der Arbeitsmappe smrmakro.xls auf der Seite ,,Beispiel`` zu finden (vgl. Abbildung ).

Abbildung: Beispiel

Kalibrierung

In diesem Abschnitt wird die Kalibrierung des Bewertungsmodells beschrieben. Es werden mittels einer AR(1)-Regression die linearen Gewichtungen der CMTs (vgl. Formel ) sowie der Mean Reversion Parameter $a$ (vgl. Formel ) ermittelt. Der risikoadjustierte langfristige Mittelwert $\gamma ^{*}$ des Fehlerprozesses wird anschließend mittels eines einfachen iterativen Verfahrens an den Daten ausgewählter Anleihen kalibriert.

Die Regression wird im Zeitraum 2.1.1995 bis 28.4.1999 durchgeführt. Zur Kalibrierung des Fehlerterms werden die Anleihen 13772 und 42804 (vgl. Tabelle ) zusammen mit ihren Marktdaten vom 28.4.1999 verwendet (vgl. Tabelle ).

Tabelle: Stammdaten der verwendeten Anleihen

WP-Knr.	Emittent	Laufzeit Ende	KF.	Margin	Rundung
13772	Erste Bank der ö. SK AG	30.4.2003	6M	0%	-0,125%
42804	Österreichische PSK AG	11.1.2006	1J	-0,375%	-0,125%

Tabelle: Marktdaten vom 28.4.1999 der verwendeten Anleihen

WP-Knr.	Restlaufzeit	Lfd. Kupon	Marktpreis
13772	3,992	3,875%	101,90%
42804	6,689	4,250%	98,70%

In einem ersten Schritt werden die Objekte für die Zinssätze, SMR- und CMT-Werte erzeugt {SMRKalibrierung} und mit den entsprechenden Daten gefüllt. Diese werden dann zusammen mit den notwendigen Stamm- und Marktdaten der Anleihen dem SMRRegression-Objekt übergeben und danach die Kalibrierung durch Aufruf der Methode {SMRRegression:calibrate} angestoßen. Es werden nun die folgenden Vorgänge ausgeführt:

1. Erstellung der notwendigen Datenfelder ( $\Delta CMT$, $\Delta SMR$) für die Regression (Seite ).
2. Schätzung des $\rho$-Wertes für die AR1-Regression (Seite ).
3. Schätzung der $\beta \protect$-Werte (Seite ).
4. Berechnung der Modellparameter (Seite ).

Erstellung der Datenfelder

Da im verwendeten Modell die Änderungen der SMR durch Änderungen einer Linearkombination der CMT-Werte beschrieben werden (vgl. Formel ), ist es notwendig die $\Delta SMR$- und $\Delta CMT$-Werte zu berechnen und für eine weitere Verwendung temporär ab zu speichern {SMRRegression:createArrays}.

Schätzung von $\rho$

Da für die (diskrete) Modellierung des Fehlerterms ein AR(1)-Prozess verwendet wird, muss zuerst der Parameter $\rho$ berechnet werden {SMRRegression:schätzeRoh} (vgl. []), bevor die $\beta \protect$-Werte geschätzt werden können. Man beginnt indem man erste Schätzwerte für die $\beta \protect$-Werte berechnet:

$$\hat{\beta }=\left( X^{T}\cdot X\right) ^{-1}\cdot X^{T}\cdot y=\left( \begin{array}{c} -0,0051\\ 0,3328\\ 0,3297 \end{array}\right)$$ (24)

Dabei bezeichnen $X$ und $y$ folgende Matrizen:

$$X = \left( \begin{array}{ccc} \Delta CMT_{11} & \cdots & \Delta CMT_{... ...ts & & \vdots \\ \Delta CMT_{T1} & \cdots & \Delta CMT_{TK} \end{array}\right)$$

$$y = \left( \begin{array}{c} \Delta SMR_{1}\\ \Delta SMR_{2}\\ \vdots \\ \Delta SMR_{T} \end{array}\right)$$

Ausgehend von diesen Werten kann man nun zuerst einen Schätzwert für $e_{t}$ ermitteln

$$\hat{e}_{t}=y_{t}-\sum _{i=1}^{j}\hat{\beta }_{i}\cdot x_{t_{i}i}$$ (25)

und anschließend $\rho$ schätzen:

$$\hat{\rho }=\frac{\sum _{t=2}^{T}\hat{e}_{t}\hat{e}_{t-1}}{\sum _{t=2}^{T}\hat{e}^{2}_{t-1}}=-0,2665$$ (26)

Schätzung der $\beta \protect$-Werte

Nachdem $\hat{\rho }$ berechnet wurde, können nun die $\beta \protect$-Werte auf folgende Art geschätzt werden {SMRRegression:schätzeBetas}:

$$\Hat {\Hat {\beta }}=\left( X^{*^{T}}X^{*}\right) ^{-1}X^{*^{T}}y^{*}=\left( \begin{array}{c} 0,0350\\ 0,3456\\ 0,3425 \end{array}\right)$$ (27)

Dabei gilt:

$$X^{*} = \left( \begin{array}{ccc} \sqrt{1-\hat{\rho }^{2}}\cdot \Delta CM... ... & \cdots & \Delta CMT_{Tj}-\hat{\rho }\cdot \Delta CMT_{TK} \end{array}\right)$$

$$y^{*} = \left( \begin{array}{c} \sqrt{1-\hat{\rho }^{2}}\cdot \Delta SMR_... ... \vdots \\ \Delta SMR_{T}-\hat{\rho }\cdot \Delta SMR_{T-1} \end{array}\right)$$

Weiters berechnet man einen Schätzwert für die Residualvarianz:

$$\hat{\sigma }^{2}_{\epsilon }=\frac{\left( y^{*}-X^{*}\hat{\beta }\right) ^{T}\left( y^{*}-X^{*}\hat{\beta }\right) }{T-K}=0,0000000463$$ (28)

Auf Basis der geschätzten $\beta \protect$-Werte kann man den momentanen Wert des Fehlerterms mittels Formel berechnen zu $u_{t}=0,6758\%$ {SMRRegression:berechneUT}.

Berechnung der Modellparameter

Abschließend müssen noch die Modellparameter basierend auf den Ergebissen der Regression berechnet werden {SMRRegression:berechneParameter}:

$$a = -\rho =0,2665$$ (29)

$$b = \sqrt{\frac{2\cdot a\cdot \sigma ^{2}_{\epsilon }}{1-e^{-2\cdot a\cdot \Delta t}}}=0,11031$$ (30)

$$\gamma = \frac{\sum _{t=1}^{T}u_{t}}{T}=1,11\%$$ (31)

$$\gamma ^{*} = 0,448\%$$

Der Wert $\gamma ^{*}$ wird mittels eines einfachen iterativen Verfahrens basierend auf den Marktdaten der angegebenen Anleihen ermittelt (vgl. Abschnitt ab Zeile 600).

Bewertung

Basierend auf der Kalibrierung aus vorherigem Abschnitt wird nun die Anleihe 42804 bewertet {SMRBewertung}. Dazu wird für jede einzelne Kuponzahlungen eine Bewertung durchgeführt {SMRRegression:getDetailValue} (vgl. Tabelle ). Zu beachten ist dabei, dass für die erste Zahlungen nur der laufende Kupon heranzuziehen ist, aber weder Fehlerterm noch Margin zu berücksichtigen sind. Es gilt die aus Abschnitt bekannte Formel:

$$V\left( t,T\right) =\underbrace{\sum _{k=1}^{K}\left[ \beta _{k}\... ...t\right) }\right] }_{\textrm{Barwert des Erwartungswertes des Fehlerprozesses}}$$

Dabei bezeichnet $V_{k}\left( t,T\right)$ den Barwert einer CMT-Komponente (Bewertung vgl. Formel ).

Tabelle: Bewertung der Kuponzahlungen

Zeitpunkt	CMT-Teil	Fehlerterm	Margin	Summe
0,689	4,175	-	-	4,175
1,689	2,722	0,609	-0,418	2,913
2,689	2,831	0,549	-0,405	2,975
3,689	2,914	0,500	-0,390	3,024
4,689	2,947	0,457	-0,375	3,029
5,689	2,930	0,421	-0,359	2,992
6,689	2,820	0,389	-0,342	2,867
	21,339	2,923	-2,288	21,974

Nun müssen von der Summe der Barwerte der einzelnen Kuponzahlung noch die Stückzinsen abgezogen und der Barwert der Rückzahlung addiert werden. Somit ergibt sich folgender Wert:

Kuponzahlungen	21,974
Rückzahlung	71,156
Stückzinsen	-1,322
Gesamt	98,808

Dateiformate

Die Klassen SMR, SpotRates und SMRRegression können ihre Daten aus speziell formatierten Dateien einlesen. Dieser Abschnitt beschreibt das Format dieser Dateien.

Zinssätze

Die Klasse SpotRates kann zwei verschiedene Datenformate verarbeiten:

• Standardformat

  Die Datei ist eine tabellenartig aufgebaute Textdatei (vgl. Abbildung ), wobei die Spalten durch Tabulator-Zeichen getrennt sind. Die erste Spalte enthält ab der zweiten Zeile die Datumswerte in absteigender Reihenfolge. Die erste Zeile enthält ab der zweiten Spalte die Laufzeiten. Der Wert in der ersten Zeile und Spalte wird ignoriert. Ab der zweiten Zeile und Spalte müssen die entsprechenden Zinssätze gespeichert sein.

• ProfitLine-Format

  Die Daten können auch im Export-Format der Software ProfitLine (vgl. Abbildung ) vorliegen. Da hierbei jede Datei nur eine Zeitreihe für eine Laufzeit enthalten kann, müssen mehrere Dateien exportiert werden. Die Dateinamen der einzelnen Dateien müssen dem Muster XXXYY.ZZZ folgen, wobei XXX beliebige Buchstaben (keine Zahlen) sein dürfen, die für alle unterschiedlichen Laufzeiten identisch sein müssen und YY die Laufzeit mit ,, . `` (Punkt) als Kommazeichen bezeichnet. Gültige Dateinamen wären z.B. zins1.0.txt oder Spotrates_9.5.txt .

Abbildung: Standardformat für Zinssätze

Abbildung: ProfitLine-Format für Zinssätze

SMR

Ebenso wie die Klasse SpotRates kann auch die Klasse SMR zwei verschiedene Datenformate verarbeiten:

• Standardformat

  In diesem Format muss die Datei zwei durch Tabulator-Zeichen getrennte Spalten enthalten. Die erste Spalte enthält dabei die Datumswerte in absteigender Reihenfolge; die zweite Spalte die entsprechenden SMR-Werte (vgl. Abbildung ).

  Abbildung: Standardformat für SMR-Zeitreihen

  

• ProfitLine-Format

  Aus ProfitLine exportierte SMR-Zeitreihen (vgl. Abbildung ) können ohne Einschränkung eingelesen werden.

  Abbildung: ProfitLine-Format für SMR-Zeitreihen

  

Modellparameter

Die Klasse SMRRegression kann die ermittelten Modellparameter in eine Textdatei (vgl. Abbildung ) schreiben {SMRRegression:writeToFile} und die Parameter zur Bewertung aus der Textdatei wieder einlesen {SMRRegression:readFromFile}. Die erste Zeile muss den Text

SMR-Regression Modellparameter V1

enthalten. Die weiteren Zeilen sind im Format

Parameter = Wert

gehalten. Als Parameter werden erkannt:

• A
• B
• Gamma*
• Betas
• CMT

Für die Parameter Betas und CMT müssen die Einzelwerte durch ,, ; `` getrennt werden.

Abbildung: Dateiformat für Modellparameter

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Bewertung von SMR-Produkten
Martin Vonwald

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Copyright © 1993, 1994, 1995, 1996, Nikos Drakos, Computer Based Learning Unit, University of Leeds.
Copyright © 1997, 1998, 1999, Ross Moore, Mathematics Department, Macquarie University, Sydney.

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latex2html -split 0 -local_icons -no_footnode -no_navigation -html_version 4.0 -dir ./html Bewertung_von_SMR_Produkten.tex

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Fußnoten

... Residualvarianz

Hierbei ist anzumerken, dass es für die spätere Bewertung nicht notwendig ist, die Residualvarianz $\sigma _{\epsilon }^{2}$ und im weiteren Verlauf den Parameter $b$ zu berechnen.